Question

設過點的橢圓的兩焦點為F₁（-1，0）和F₂（1，0）．M為橢圓上的一個動點，以M為圓心，MF₂為半徑作⊙M．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若⊙M與y軸有兩個交點，求點M橫坐標的取值范圍；
（Ⅲ）是否存在定⊙N，使⊙M與⊙N總內(nèi)切？若存在，求⊙N的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由2a=|PF₁|+|PF₂|=4，知a=2．由兩焦點為兩焦點為F₁（-1，0）和F₂（1，0），能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設M（x，y），則⊙M半徑，圓心M到y(tǒng)軸的距離d=|x|，⊙M與y軸有兩個交點，能求出點M橫坐標的取值范圍．
（Ⅲ）存在⊙N：（x+1）²+y²=16與⊙M總內(nèi)切，圓心N為橢圓的左焦點F₁，由橢圓的定義知，|MF₁|+|MF₂|=4，由此能導出兩圓相內(nèi)切．
解答：解：（Ⅰ）∵2a=|PF₁|+|PF₂|=+=4，
∴a=2．
∵兩焦點為F₁（-1，0）和F₂（1，0），
∴b²=a²-c²=4-1=3，
∴橢圓C的方程為．
（Ⅱ）設M（x，y），則⊙M半徑，
圓心M到y(tǒng)軸的距離d=|x|，
由，
得，
∴，
∵-2≤x≤2，
∴．
（Ⅲ）存在⊙N：（x+1）²+y²=16與⊙M總內(nèi)切，
圓心N為橢圓的左焦點F₁，
由橢圓的定義知，|MF₁|+|MF₂|=4，
∴|MF₁|=4-|MF₂|，
∴兩圓相內(nèi)切．
點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關系，圓的簡單性質(zhì)等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．