Question

已知點P（a1，b1），P2（a2，b2），...，Pn（an，bn）（n為整數(shù)）都在函數(shù)y=的圖像上，且數(shù)列{a_n}是a₁=1，公差為d的等差數(shù)列。
（1）證明：數(shù)列{b_n}是公比為的等比數(shù)列；
（2）若公差d=1，以點P_n的橫、縱坐標為邊長的矩形面積為C_n，求最小的實數(shù)t，若使C_n<t（t∈R，t≠0）對一切正整數(shù)k恒成立；
（3）對（2）中的數(shù)列{a_n}，對每個正整數(shù)k，在a_k與a_k+1之間插入2^k-1個3（如在a₁與a₂之間插入2⁰個3，
a₂與a₃之間插入2₁個3，a₃與a₄之間插入2²個3，依此類推），得到一個新的數(shù)列{d_n}，設S_n是數(shù)列
{d_n}的前n項和，試求S₁₀₀₀。

Answer 1

解：（1）由已知
所以，（常數(shù)），
所以數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）公差d=1，則，得，
∴

∴數(shù)列{}從第二項起隨n增大而減小
∴又，則。最小的實數(shù)t等于；
（3）∵ ，∴數(shù)列中， 從第一項開始到為止（含項）
共有項，
k=10時
k=11時
∴