Question

如圖，四棱錐S－ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，P為BC邊的中點，SB與平面ABCD所成的角為45°，且AD＝2，SA＝1．

(1)求證：PD⊥平面SAP．

(2)求二面角A―SD―P的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(法一)(1)因為底面ABCD， 　　所以是SB與平面ABCD所成的角　　1分 　　由已知，所以， 　　易求得　　2分 　　又因為所以， 　　所以　　3分 　　因為底面ABCD，平面ABCD， 　　所以　　4分 　　由于，所以平面SAP　　5分 　　(2)設(shè)Q為AD的中點，連接PQ　　6分 　　由于底面ABCD，且平面SAD， 　　則平面SAD平面PAD　　7分 　　因為所以平面SAD， 　　過Q作，垂足為R，連接PR， 　　由三垂線定理可知， 　　所以是二面角的平面角　　9分 　　容易證明∽，則． 　　因為， 　　所以　　10分 　　在中，因為， 　　所以　　11分 　　所以二面角的余弦值為　　12分 　　(法二)因為底面ABCD， 　　所以是SB與平面ABCD所成的角　　1分 　　所以，所以． 　　建立空間直角坐標系(如圖)， 　　由已知P為BC的中點，于是A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(1，1，0)，D(0，2，0)， 　　S(0，0，1)． 　　(1)易求得，(－1，1，0)，(－1，－1，1)． 　　因為， 　　 　　所以． 　　由于，所以平面SAP　　5分 　　(2)設(shè)平面SPD的法向量為， 　　由得，解得， 　　所以　　8分 　　又因為平面SAD， 　　所以是平面SAD的法向量， 　　易得，二面角為銳二面角　　9分 　　所以　　11分 　　所以的余弦值為　　12