Question

如圖，已知直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁，其高為m,底面是邊長為2的菱形，且∠ABC=120°.

(1)求證：平面D₁AC⊥平面BDD₁B₁;

(2)若直線AD₁與平面BDD₁B₁所成的角為30°,求二面角D₁-AC-D的大小;

(3)若異面直線BC₁與CD₁所成角的余弦值為,求m的大小.

Answer 1

(1)證明：由直四棱柱知DD₁⊥平面ABCD,

又AC平面ABCD,∴AC⊥DD₁.                                            

又四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD.

而DD₁∩BD=D,∴AC⊥平面BDD₁B₁.                                          

又AC平面D₁AC,∴平面D₁AC⊥平面BDD₁B₁.                              

(2)解：如圖，連結(jié)D₁O，

∵AC⊥平面BDD₁B₁,且直線AD₁與平面BDD₁B₁所成角為30°,

∴∠AD₁O=30°,且AC⊥DO,AC⊥D₁O.

∴∠D₁OD為二面角D₁ACD的平面角.                                       

又∵△ABD為正三角形，且AB=2,

∴AO=,D₁O=AOcot30°=3.

∴cos∠D₁OD==,

即所求二面角的平面角為arccos.                                         

注：若求出m=2,則有所求二面角的平面角為arcsin或arctan2.

(3)解：∵AD₁∥BC₁,

∴∠AD₁C為異面直線BC₁與CD₁所成角或其補(bǔ)角.

∴cos∠AD₁C=±.                                      

在△AD₁C中，由余弦定理得AC²=-2AD₁·CD₁cos∠AD₁C,

即12=2(m²+4)±2(m²+4)×.                                             

解得m=或.