Question

19．圓臺的上、下底面半徑分別為5cm、10cm，母線長AB=20cm，從圓臺母線AB的中點M拉一條繩子繞圓臺側(cè)面轉(zhuǎn)到A點（A在上底面），求：
（1）繩子的最短長度；
（2）在繩子最短時，上底圓周上的點到繩子的最短距離；
（3）圓錐底面半徑為r，母線長為4r，求從底面邊緣一點A出發(fā)繞圓錐側(cè)面一周再回到A的最短距離．

Answer 1

分析 （1）由題意需要畫出圓臺的側(cè)面展開圖，并還原成圓錐展開的扇形，則所求的最短距離是平面圖形兩點連線；
（2）根據(jù)條件求出扇形的圓心角以及半徑長，在求出最短的距離；
（3）畫出圓臺的側(cè)面展開圖，有（1）中結(jié)論，可得圓心角θ=$\frac{π}{2}$，進而得到答案．

解答 解：（1）畫出圓臺的側(cè)面展開圖，

并還原成圓錐展開的扇形，且設(shè)扇形的圓心為O．
有圖得：所求的最短距離是MB'，
設(shè)OA=R，圓心角是θ，則由題意知，
10π=θR  ①，20π=θ（20+R）  ②，由①②解得，θ=$\frac{π}{2}$，R=20，
∴OM=30，OB'=40，則MB'=50cm．
故繩子最短的長度為：50cm．
（2）作OC垂直于B'M交于D，OC是頂點O到MB'的最短距離，
則DC是MB'與弧AA'的最短距離，DC=OC-OD=$\frac{OM•OB′}{MB′}$-20=4cm，
即繩子上各點與上底面圓周的最短距離是：4cm．
（3）畫出圓臺的側(cè)面展開圖，

∵圓錐底面半徑為r，母線長為4r，
則圓心角θ=$\frac{π}{2}$，
故從底面邊緣一點A出發(fā)繞圓錐側(cè)面一周再回到A的最短距離為：4$\sqrt{2}$r．

點評 本題考查了在幾何體表面的最短距離的求出，一般方法是把幾何體的側(cè)面展開后，根據(jù)題意作出最短距離即兩點連線，結(jié)合條件求出，考查了轉(zhuǎn)化思想．