Question

如圖，四棱錐中，底面為直角梯形,∥, ，平面,且，為的中點(diǎn)

（1） 證明：面面

（2） 求面與面夾角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1） 詳見(jiàn)解析；（2） 面與面夾角的余弦值．

【解析】

試題分析：（1） 證明：面面，在立體幾何中，證明面面垂直，往往轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)面垂直，即證一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，由已知，即,又因?yàn)?/span>∥,則,只需在平面內(nèi)再找一條垂線(xiàn)即可，由已知平面,從而得,這樣平面,即得面面;也可利用向量法, 以為坐標(biāo)原點(diǎn)長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量來(lái)證,即得,其它同上；

（2） 求面與面夾角的余弦值，可建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角的大小，由（1） 建立的間直角坐標(biāo)系，設(shè)出兩個(gè)半平面的法向量，利用法向量的性質(zhì)，求出兩個(gè)半平面的法向量，利用法向量來(lái)求平面與平面的夾角的余弦值．

試題解析：（1） 以為坐標(biāo)原點(diǎn)長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為.

（1） 證明：因

由題設(shè)知，且與是平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，由此得面.

又在面上，故面⊥面. 5分

（2） 解：在上取一點(diǎn)，則存在使

要使，只需，即，解得，可知當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，能使，此時(shí)，，有，由得，所以為所求二面角的平面角.因?yàn)?/span>，，，故．

面與面夾角的余弦值. 12分

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角；平面與平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．