Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，向量

a

=（2，-1），

b

=（a_n+2ⁿ，a_n+1）且

a

⊥

b

．
（Ⅰ）求證數(shù)列{

an

2n

}為等差數(shù)列，并求{a_n}通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

an

n(n+1)2

，若對任意n∈N^*都有b_n＞

m2-3m

9

成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得an+1=2an+2n+1，整理得

an+1

2n+1

=

an

2n

+1，于是可證數(shù)列{

an

2n

}為等差數(shù)列，繼而可得{a_n}通項公式；
（Ⅱ）依題意可知bn=

2n

(n+1)2

，令

bn+1

bn

=2•[

n+1

n+2

]2＞1，依題意，可求得(bn)min=

4

9

，解不等式

m2-3m

9

＜

4

9

即可求得m的取值范圍．

解答： （Ⅰ）證明：因為

a

=（2，-1），

b

=（a_n+2ⁿ，a_n+1）且

a

⊥

b

，
所以2(an+2n)-an+1=0…2 分
即an+1=2an+2n+1，∴

an+1

2n+1

=

an

2n

+1…4 分
所以數(shù)列{

an

2n

}為等差數(shù)列，…5 分
且

an

2n

=

a1

2

+(n-1)×1=n，
∴an=n×2n…6 分
（Ⅱ）解：依題意可知bn=

2n

(n+1)2

，令

bn+1

bn

=2•[

n+1

n+2

]2＞1，得n2＞2⇒n＞

2

…8 分
即當(dāng)n≥2，n∈N，都有b₂＜b₃＜…＜b_n，…9 分
而b1=

1

2

＞b2=

4

9

，故(bn)min=

4

9

…10分
從而

m2-3m

9

＜

4

9

，解得-1＜m＜4…13 分

點評：本題考查數(shù)列的求和，考查等差數(shù)列關(guān)系的確定及函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算能力，屬于中檔題．