Question

函數f（x）和g（x）的定義域為R，且f（x）為偶函數，g（x）為奇函數，f（x）+g（x）=

1

x2-x+1

，則F（x）=

f(x)

g(x)

在定義域內的增區(qū)間為（　�。�

• A、（-∞，-1）
• B、（1，+∞）
• C、（-∞，-1）和（1，+∞）
• D、（-∞，+∞）

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：利用f（x）是偶函數，g（x）是奇函數，列出方程組求f（x）和g（x）的解析式，然后代入F（x）=

f(x)

g(x)

，化簡，求定義域，求增區(qū)間．

解答： 解：∵f（x）是偶函數，g（x）是奇函數，
∴f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x）
又∵f（x）+g（x）=

1

x2-x+1

 ①，
∴f（-x）+g（-x）=f（x）-g（x）=

1

x2+x+1

 ②，
①②聯立可解得f（x）=

x2+1

(x2-x+1)(x2+x+1)

，g（x）=

2x

(x2-x+1)(x2+x+1)

，
則F（x）=

f(x)

g(x)

=

x2+1

2x

，函數的定義域為{x|x≠0}，
∵F（x）=

x2+1

2x

=

1

2

（x+

1

x

），
∴F′（x）=

1

2

（1-

1

x2

），
令F′（x）=

1

2

（1-

1

x2

）＞0，解得x＜-1或x＞1，
則F（x）=

f(x)

g(x)

在定義域內的增區(qū)間為（-∞，-1）和（1，+∞）．

點評：本題考查函數的奇偶性，單調性以及函數的定義域，考查計算能力，屬于中檔題目．