Question

已知點(diǎn)P（-4，0）及圓C：x²+y²+6x-4y+4=0．
（Ⅰ）當(dāng)直線l過點(diǎn)P且與圓心C的距離為l時，求直線l的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P的直線與圓C交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)|AB|取得最小值時，求以線段AB為直徑的圓的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：綜合題

分析：（Ⅰ）把圓的方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程后，分兩種情況①斜率k存在時，因?yàn)橹本�經(jīng)過點(diǎn)P，設(shè)出直線的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到所設(shè)直線的距離d，讓d等于1列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根據(jù)k的值和P的坐標(biāo)寫出直線l的方程即可；②當(dāng)斜率不存在時顯然得到直線l的方程為x=-4；
（Ⅱ）點(diǎn)P（-4，0）為AB的中點(diǎn)時，|AB|取得最小值，從而寫出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-3）²+（y+2）²=9，
①設(shè)直線l的斜率為k（k存在）
則方程為y-0=k（x+4）即kx-y+4k=0
又⊙C的圓心為（3，-2），r=3，
由

|-3k-2+4k|

k2+1

=1，得k=

3

4

所以直線方程為3x-4y+12=0；
②當(dāng)k不存在時，直線l的方程為x=-4．
綜上，直線l的方程為3x-4y+6=0或x=-4；
（Ⅱ）點(diǎn)P（-4，0）為AB的中點(diǎn)時，|AB|取得最小值，
∵|PC|=

5

，r=3，
∴|AB|_min=2

9-5

=4，
∴以線段AB為直徑的圓的方程為：（x+4）²+y²=4．

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式化簡求值，靈活運(yùn)用垂徑定理及韋達(dá)定理化簡求值，會根據(jù)圓心坐標(biāo)和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是一道中檔題．