Question

已知數列的前n項和為，，且()，數列滿足，，對任意，都有．

（Ⅰ）求數列、的通項公式；

（Ⅱ）令，若對任意的，不等式恒成立，試求實數λ的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）∵，∴ ()，兩式相減得，，

∴，即，∴()，

滿足上式，故數列的通項公式()．··········· 4分

在數列中，由，知數列是等比數列，首項、公比均為，

∴數列的通項公式．（若列出、、直接得而沒有證明扣1分）···· 6分

（Ⅱ）∴     ①

∴          ②

由①-②，得，

∴，·························· 8分

不等式即為，

即（）恒成立．··············· 9分

方法一、設（），

當時，恒成立，則滿足條件；

當時，由二次函數性質知不恒成立；

當時， 由于，則在上單調遞減，恒成立，則滿足條件．

綜上所述，實數λ的取值范圍是．··············· 12分

方法二、也即（）恒成立，·············· 9分

令．則，·· 10分

由，單調遞增且大于0，∴單調遞增，當時，，且，故，∴實數λ的取值范圍是．

【解析】略