Question

【題目】如圖所示，直三棱柱的底面為等腰直角三角形，其中，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).

（Ⅰ）若點(diǎn)滿足，且，求的值；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）.

【解析】

（I）根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)及所給數(shù)據(jù)，將轉(zhuǎn)化為，則在中直接求解即可；

（II）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量即可求二面角的余弦值.

（Ⅰ）因?yàn)樵趥?cè)面中，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，

所以，，則.

因?yàn)?/span>平面，所以.

由，得平面，

所以，又因?yàn)?/span>，

，所以平面，

所以.

在中，，，，，

則，所以，，

又因?yàn)?/span>，所以.

（Ⅱ）

如圖：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

，，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則

，令，得，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則

令，得，

設(shè)二面角的平面角為，

則，

故二面角的余弦值為.