Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n＞1，過(guò)點(diǎn)（a_n，0）的直線ln與圓x²+y²=1在第一象限相切于點(diǎn)P_n，若記P_n的橫坐標(biāo)為b_n，則$\frac{{a}_{1}_{1}+{a}_{2}_{2}+..+{a}_{n}_{n}}{（{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}）（_{1}_{2}…_{n}）}$等于（　�。�

• A． 2-2^1-n
• B． 2ⁿ-1
• C． 1
• D． n

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)P_n（b_n，c_n），即有b_n²+c_n²=1，即有切線的斜率，再由兩直線垂直的條件，可得a_nb_n=1，n∈N^*，代入所求式子，即可得到所求值．

解答 解：設(shè)點(diǎn)P_n（b_n，c_n），即有b_n²+c_n²=1，
則切線的斜率為k_n=$\frac{{c}_{n}}{_{n}-{a}_{n}}$，
由OP_n⊥l_n，可得$\frac{{c}_{n}}{_{n}-{a}_{n}}$•$\frac{{c}_{n}}{_{n}}$=-1，
可得a_nb_n=1，n∈N^*，
則$\frac{{a}_{1}_{1}+{a}_{2}_{2}+..+{a}_{n}_{n}}{（{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}）（_{1}_{2}…_{n}）}$=$\frac{1+1+…+1}{（{a}_{1}_{1}）（{a}_{2}_{2}）…（{a}_{n}_{n}）}$=n．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓相切的條件，考查兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．