Question

(

3

2

+1)n的展開式中有且僅有5個有理項(xiàng)，則最小自然數(shù)n等于

 

．

Answer 1

分析：利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出展開式的通項(xiàng)，令2的指數(shù)為3的倍數(shù)，據(jù)已知條件求出k取得值，得到r的最大值，利用n，r的關(guān)系求出n的最小值．

解答：解：展開式的通項(xiàng)為Tr+1=

C

r n

2

r

3

要使其為有理數(shù)，2的指數(shù)為整數(shù)，所以r為3的倍數(shù)
設(shè)r=3k且0≤r≤n（r∈N）
∵展開式中僅有5個有理項(xiàng)
∴k=0，1，2，3，4
∴r=0，3，6，9，12，
則有n≥12得n的最小值為12
故答案為：12

點(diǎn)評：本題考查利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題、考查有理項(xiàng)是冪的指數(shù)為整數(shù)．