Question

某高中畢業(yè)學(xué)年，在高校自主招生期間，把學(xué)生的平時(shí)成績(jī)按“百分制”折算，排出前n名學(xué)生，并對(duì)這n名學(xué)生按成績(jī)分組，第一組[75，80），第二組[80，85），第三組[85，90），第四組[90，95），第五組[95，100]，如圖為頻率分布直方圖的一部分，其中第五組、第一組、第四組、第二組、第三組的人數(shù)依次成等差數(shù)列，且第四組的人數(shù)為60．
（Ⅰ）請(qǐng)?jiān)趫D中補(bǔ)全頻率分布直方圖；
（Ⅱ）若Q大學(xué)決定在成績(jī)高的第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生進(jìn)行面試．
①若Q大學(xué)本次面試中有B、C、D三位考官，規(guī)定獲得兩位考官的認(rèn)可即面試成功，且面試結(jié)果相互獨(dú)立，已知甲同學(xué)已經(jīng)被抽中，并且通過(guò)這三位考官面試的概率依次為

1

2

、

1

3

，

1

5

，求甲同學(xué)面試成功的概率；
②若Q大學(xué)決定在這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生接受考官B的面試，第3組中有ξ名學(xué)生被考官B面試，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,分層抽樣方法,頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由第四組的人數(shù)能求出總?cè)藬?shù)，由此能補(bǔ)全頻率分布直方圖．
（Ⅱ）①設(shè)事件A=甲同學(xué)面試成功，由此利用獨(dú)立事件概率公式能求出甲同學(xué)面試成功的概率．
②由題意得，ξ=0，1，2，3，分別求出其概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）∵第四組的人數(shù)為60，
∴總?cè)藬?shù)為：5×60=300，

由直方圖可知，第五組人數(shù)為：0.02×5×300=30人，
又

60-30

2

=15為公差，
∴第一組人數(shù)為：45人，第二組人數(shù)為：75人，第三組人數(shù)為：90人（4分）
（Ⅱ）①設(shè)事件A=甲同學(xué)面試成功，
則P（A）=

1

2

×

1

3

×

4

5

+

1

2

×

2

3

×

1

5

+

1

2

×

1

3

×

1

5

+

1

2

×

1

3

×

1

5

=

4

15

…..（8分）
②由題意得，ξ=0，1，2，3，
P(ξ=0)=

C 0 3 C 3 3

C 3 6

=

1

20

，
P(ξ=1)=

C 1 3 C 2 3

C 3 6

=

9

20

，
P(ξ=2)=

C 2 3 C 1 3

C 3 6

=

9

20

，
P(ξ=3)=

C 3 3 C 0 3

C 3 6

=

1

20

，
分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	1 20	9 20	9 20	1 20

E(ξ)=0×

1

20

+1×

9

20

+2×

9

20

+3×

1

20

=

3

2

…..（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，是中檔題，是歷年高考的必考題型．