Question

5．設(shè)向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow$=（cosx，sinx），x∈R，函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（3）當x∈[$-\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}}$]時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）可求出向量$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$的坐標，從而進行向量數(shù)量積的坐標運算即可求出$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）$，并化簡便可得出f（x）=1-sin2x，從而由周期的計算公式即可求出函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）可根據(jù)x的范圍求出2x的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象便可求出sin2x的范圍，進一步得出1-sin2x的范圍，即f（x）的范圍，即得出f（x）的值域．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}-\overrightarrow=（sinx-cosx，cosx-sinx）$，$\overrightarrow{a}=（sinx，cosx）$；
∴$f（x）=\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）$
=sinx（sinx-cosx）+cosx（cosx-sinx）
=sin²x-sinxcosx+cos²x-sinxcosx
=1-sin2x；
∴$T=\frac{2π}{2}=π$；
即f（x）的最小正周期為π；
（2）$x∈[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$時，$-\frac{π}{2}≤2x≤\frac{π}{2}$；
∴-1≤sin2x≤1；
∴0≤1-sin2x≤2；
∴f（x）的值域為[0，2]．

點評 考查向量坐標的減法運算，以及向量數(shù)量積的坐標運算，sin²x+cos²x=1，二倍角的正弦公式，周期的計算公式，以及不等式的性質(zhì)，正弦弦函數(shù)的圖象．