Question

圓錐的軸截面SAB是邊長為2的等邊三角形，O為底面中心，M為SO的中點，動點P在圓錐底面內（包括圓周）．若AM⊥MP，則P點形成的軌跡的長度為（　�。�

• A、

  7

• B、

  7

  2

• C、3
• D、

  3

  2

Answer 1

分析：建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，設出動點的坐標，利用向量的坐標公式求出向量坐標，利用向量垂直的充要條件列出方程求出動點P的軌跡方程，得到P的軌跡是底面圓的弦，利用勾股定理求出弦長．

解答：解：建立空間直角坐標系．設A（0，-1，0），B（0，1，0），S(0，0，

3

)，M(0，0，

3

2

)，P（x，y，0）．
于是有

AM

=(0，1，

3

2

)，

MP

=(x，y，-

3

2

)．
由于AM⊥MP，所以(0，1，

3

2

)•(x，y，-

3

2

)=0，
即y=

3

4

，此為P點形成的軌跡方程，其在底面圓盤內的長度為2

1-( 3 4 )2

=

7

2

． 
  故選 B．

點評：本題考查通過建立坐標系，將求軌跡問題轉化為求軌跡方程、考查向量的數(shù)量積公式、向量垂直的充要條件、圓的弦長的求法．屬中檔題．