Question

已知橢圓C:=1(a＞b＞0)的離心率為,短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為,求△AOB面積的最大值.

Answer 1

解:(1)設(shè)橢圓的半焦距為c,依題意

∴b=1.∴所求橢圓方程為+y²=1.

(2)設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).

①當(dāng)AB⊥x軸時(shí),|AB|=.

②當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,

由已知=,得m²=(k²+1).

把y=kx+m代入橢圓方程,整理得(3k²+1)x²+6kmx+3m²-3=0,

∴x₁+x₂=,x₁x₂=.

∴|AB|²=(1+k²)(x₂-x₁)²

=(1+k²)［］

=

=3+=3+(k≠0)≤3+=4.

當(dāng)且僅當(dāng)9k²=,即k=±時(shí)等號(hào)成立.

當(dāng)k不存在時(shí),|AB|=,綜上所述,|AB|_max=2,

∴當(dāng)|AB|最大時(shí),△AOB面積取最大值,S=×|AB|_max×=.