Question

已知橢圓的離心率為，兩焦點(diǎn)之間的距離為4．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）過橢圓的右頂點(diǎn)作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，

（1）求證：OA⊥OB；

（2）設(shè)OA、OB分別與橢圓相交于點(diǎn)D、E，過原點(diǎn)O作直線DE的垂線OM，垂足為M，證明|OM|為定值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】(1)由2c=4,c/a=1/2,可求出a,進(jìn)而求出b，問題解決.

（II）（1）若直線的斜率存在，可設(shè)直線方程為

然后與拋物線方程聯(lián)立，消去y轉(zhuǎn)化為,

借助韋達(dá)定理證明即可.

斜率不存在的情況要單獨(dú)考慮.

(2) 設(shè)、，直線的方程為，代入，得．于是．

，．可得．

再證明原點(diǎn)到直線的距離為定值

解：（Ⅰ）由得，故． ………………………3分

所以，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ……………………………4分

（Ⅱ）（1）若直線的斜率存在，可設(shè)直線方程為……………5分

代入拋物線方程整理得

設(shè)點(diǎn)A（）點(diǎn)B（），則，………7分

所以 ……………………………………………9分

若直線斜率不存在，則A（4,4）B（4，-4），同樣可得…………10分

（2）設(shè)、，直線的方程為，代入，得．于是．從而，．得．∴原點(diǎn)到直線的距離為定值…15分