Question

已知點列B₁(1，y₁)、B₂(2，y₂)、…、B_n(n，y_n)(n∈N₊)順次為一次函數(shù)y＝x＋圖像上的點，點列A₁(x₁，0)、A₂(x₂，0)、…、(n∈N₊)順次為x軸正半軸上的點，其中x₁＝a(0＜a＜1)，對于任意n∈N₊，點構(gòu)成一個頂角的頂點為B_n的等腰三角形．

(1)求數(shù)列{y_n}的通項公式，并證明{y_n}是等差數(shù)列；

(2)證明為常數(shù)，并求出數(shù)列{x_n}的通項公式；

(3)在上述等腰三角形中，是否存在直角三角形？若有，求出此時a值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)(nÎ N)，∵，∴{}為等差數(shù)列

　　(2)因為與為等腰三角形．

　　所以，兩式相減得．

　　∴x₁，x₃，x₅，…，x_2n－1及x₂，x₄，x₆，…，x_2n都是公差為2的等差數(shù)列，

　　∴

　　(3)要使A_nB_nA_n+1為直角三角形，則|A_nA_n+1|＝2＝2()Þ x_n+1－x_n＝2()

　　①當n為奇數(shù)時，x_n+1＝n＋1－a，x_n＝n＋a－1，∴x_n+1－x_n＝2(1－a)．

　　Þ 2(1－a)＝2()Þ a＝(n為奇數(shù)，0＜a＜1)(*)

　　取n＝1，得a＝，取n＝3，得a＝，若n≥5，則(*)無解；

　　②當n為偶數(shù)時，x_n+1＝n＋a，x_n＝n－a，∴x_n+1－x_n＝2a．

　　∴2a＝2()Þ a＝(n為偶數(shù)，0＜a＜1)(*¢ )，

　　取n＝2，得a＝，若n≥4，則(*¢ )無解．

　　綜上可知，存在直角三形，此時a的值為、、．