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（1）△ABC中，證明：sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA
（2）計算：sin217°+cos247°+sin17°cos47°．
分析：（1）根據(jù)余弦定理得到a2關于b、c和cosA的式子，結合正弦定理得a=2RsinA、b=2RsinB、c=2RsinC，將其代入前面的式子，約去4R2即可得到所求證的等式成立．
（2）由誘導公式得cos47°=sin43°，從而原式=sin217°+sin243°+sin17°sin43°．構造△ABC中：B=17°，C=43°，A=120°，利用（1）中的結論可得原式=sin2120°=
3
4
．
解答：解：（1）△ABC中，根據(jù)余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA…（*）
又∵
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=2R（R是外接圓半徑）
∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC
代入（*）式，得4R2sin2A=4R2sin2B+4R2sin2C-2•2RsinB•2RsinCcosA
兩邊約去4R2，得sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA，原等式成立．
（2）∵cos47°=cos（90°-43°）=sin43°
∴sin217°+cos247°+sin17°cos47°=sin217°+sin243°+sin17°sin43°
設△ABC中，B=17°，C=43°，則A=180°-（17°+43°）=120°
由（1）得：sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA，
即sin2120°=sin217°+sin243°-2sin17°sin43°cos120°=sin217°+sin243°+sin17°sin43°
∴sin217°+sin243°+sin17°sin43°=sin2120°=（
3
2
）2=
3
4

即sin217°+cos247°+sin17°cos47°=
3
4
．
點評：本題利用正、余弦定理，證明了一個三角恒等式，并利用該式求值，著重考查了三角恒等變換和正余弦定理等知識，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)（1）如圖，平行四邊形ABCD中，M、N分別為DC、BC的中點，已知
AM
=
c
、
AN
=
d
，試用
c
、
d
表示
AB
和
AD
．
（2）在△ABC中，若
AB
=
a
，
AC
=
b
若P，Q，S為線段BC的四等分點，試證：
AP
+
AQ
+
AS
=
3
2
(
a
+
b
)；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，s=
1
2
（a+b+c）
（1）證明
1
A
+
1
B
+
1
C
≥
9
π
；
（2）若s2=2ab，試證s＜2a．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（08年安徽信息交流）在周長為6的△ABC中，∠A、∠B   、∠C所對的邊分別為，若成等比數(shù)列；

（1）求B的取值范圍；

（2）求△ABC的面積S的最大值；

（3） 當△ABC的面積S最大時，過△ABC的重心G作直線交邊AB于M，交邊AC與N，設∠AGM=，試證：。

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆安徽省高一下學期期中考試數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點P，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、

PC的中點．

（1）求證：EF∥平面PAD；

（2）求證：EF⊥CD；

（3）若ÐPDA＝45°求EF與平面ABCD所成的角的大�。�

【解析】本試題主要考查了線面平行和線線垂直的運用，以及線面角的求解的綜合運用

第一問中，利用連AC，設AC中點為O，連OF、OE在△PAC中，∵ F、O分別為PC、AC的中點   ∴ FO∥PA …………①在△ABC中，∵ E、O分別為AB、AC的中點 ∴ EO∥BC ,又         ∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②綜合①、②可知：平面EFO∥平面PAD∵ EF Ì 平面EFO   ∴ EF∥平面PAD．

第二問中在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD ∴ EO⊥CD  又    ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC∴ EO為EF在平面AC內的射影       ∴ CD⊥EF．

第三問中，若ÐPDA＝45°，則 PA＝AD＝BC    ∵ EOBC，F(xiàn)OPA

∴ FO＝EO 又∵ FO⊥平面AC∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO＝45°

證：連AC，設AC中點為O，連OF、OE（1）在△PAC中，∵ F、O分別為PC、AC的中點∴ FO∥PA …………①    在△ABC中，∵ E、O分別為AB、AC的中點  ∴ EO∥BC ,又         ∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②綜合①、②可知：平面EFO∥平面PAD    

∵ EF Ì 平面EFO      ∴ EF∥平面PAD．

（2）在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD∴ EO⊥CD  又        ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC ∴ EO為EF在平面AC內的射影     ∴ CD⊥EF．

（3）若ÐPDA＝45°，則 PA＝AD＝BC         ∵ EOBC，F(xiàn)OPA

∴ FO＝EO 又    ∵ FO⊥平面AC   ∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO＝45°

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年福建省泉州市季延中學高二（上）期末數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

在△ABC中，三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，s=（a+b+c）
（1）證明++≥；
（2）若s2=2ab，試證s＜2a．

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