Question

已知圓，直線
（1）求證：直線恒過定點
（2）判斷直線被圓截得的弦長何時最短？并求截得的弦長最短時的值及最短長度。

Answer 1

（1）見解析（2）當(dāng)直線垂直于時被截得弦長最短，此時，最短弦長為

解析試題分析：（1）證明：直線的方程，
經(jīng)整理得，                                           ……1分
由的任意性，                                                  ……3分
 恒過定點.                                                   ……5分
（2）解：因為直線恒經(jīng)過圓內(nèi)一點，當(dāng)直線垂直于時被截得弦長最短.      ……7分
由、，直線斜率，
又直線與直線垂直， 直線的斜率為2，
于是，,                                                    ……9分
最短弦長為,                                                      ……11分
綜上所述，當(dāng)直線垂直于時被截得弦長最短，
此時，最短弦長為.                                                   ……12分
考點：本小題主要考查直線過定點、直線與圓的位置關(guān)系、弦長等問題，考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力和運算求解能力.
點評：當(dāng)直線與圓相交時，圓心到直線的距離、半弦長和半徑組成一個直角三角形，這個直角三角形在解題時經(jīng)常用到.