Question

如圖，四面體OABC中，OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=

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OB=OC=1，給出下列命題：
①存在點D（點O除外），使得四面體DABC僅有3個面是直角三角形；
②存在點D，使得四面體DOBC的4個面都是直角三角形；
③存在唯一的點D，使得四面體DABC是正棱錐（底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐）；
④存在唯一的點D，使得四面體DABC與四面體OABC的體積相等；
⑤存在無數(shù)個點D，使得AD與BC垂直且相等．
其中正確命題的序號是

 

．（把你認為正確命題的序號都填上）

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,棱錐的結構特征

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：對于①，當四面體D-ABC與四面體O-ABC一樣時，即四面體ABCD的三條棱DA、DB、DC兩兩垂直，此時點D，使四面體ABCD有三個面是直角三角形；
②DC⊥平面OBC時，四面體DOBC的4個面都是直角三角形；
③根據(jù)對稱性，可知，在平面ABC的兩側均存在點D使得四面體D-ABC是正棱錐，；
④使得D與平面ABC的距離等于O與平面ABC的距離的點有無數(shù)個；
⑤取BD=AB，CD=AC，AD=BC，AD中點E，可得BE⊥AD，CE⊥AD，從而AD垂直面BEC，即存在無數(shù)個點D，使得AD與BC垂直且相等，由此可得結論．

解答： 解：對于①，∵四面體OABC的三條棱OA，OB，OC兩兩垂直，∴當四面體D-ABC與四面體O-ABC一樣時，即四面體ABCD的三條棱DA、DB、DC兩兩垂直，此時點D，使四面體ABCD有三個面是直角三角形，故①正確；
②DC⊥平面OBC時，四面體DOBC的4個面都是直角三角形，故②正確；
③根據(jù)對稱性，可知，在平面ABC的兩側均存在點D使得四面體D-ABC是正棱錐，故③不正確；
④使得D與平面ABC的距離等于O與平面ABC的距離的點有無數(shù)個，故④不正確；
⑤取BD=AB，CD=AC，AD=BC，AD中點E，可得BE⊥AD，CE⊥AD，從而AD垂直面BEC，即存在無數(shù)個點D，使得AD與BC垂直且相等，故⑤正確；
綜上知，正確命題的序號為①②⑤
故答案為：①②⑤

點評：本題綜合考查空間幾何體的概念、線面關系，等價轉化的思想，較難題．