Question

【題目】定義在（﹣1，+∞）上的單調(diào)函數(shù)f（x），對于任意的x∈（﹣1，+∞），f[f（x）﹣xex]=0恒成立，則方程f（x）﹣f′（x）=x的解所在的區(qū)間是（ ）
A.（﹣1，﹣ ）
B.（0， ）
C.（﹣ ，0）
D.（ ）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：由題意，可知f（x）﹣xeX是定值，不妨令t=f（x）﹣xeX，則f（x）=xeX+t，

又f（t）=tet+t=0，解得t=0，

所以有f（x）=xeX，

所以f′（x）=（x+1）eX，

令F（x）=f（x）﹣f′（x）﹣x=xex﹣（x+1）ex﹣x=﹣ex﹣x，

可得F（﹣1）=1﹣ ＞0，F(xiàn)（﹣ ）= ﹣ ＜0

即F（x）的零點在區(qū)間（﹣1，﹣ ）內(nèi)

∴方程f（x）﹣f′（x）=x的解所在的區(qū)間是（﹣1，﹣ ），

故選：A．

【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減)．