Question

13．設函數f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）（其中ω＞0），且f（x）的圖象在y軸右側的第一個最高點的橫坐標是$\frac{π}{6}$．
（1）求y=f（x）的最小正周期及對稱軸；
（2）若x∈$[{-\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}}]$，函數$g（x）={[f（x+\frac{π}{2}）]^2}$-af（x）+1的最小值為0．求a的值．

Answer 1

分析 （1）由題意，根據五點法作圖求出ω的值，即可求函數y=f（x）的最小正周期；寫出函數y=f（x）的解析式，即可求出它的對稱軸；
（2）求出函數f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]上的取值范圍，再化簡函數g（x），討論a的取值，求出函數g（x）取最小值0時a的值．

解答 解：（1）由題意，根據五點法作圖可得2ω•$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，求得ω=$\frac{1}{2}$；
所以函數y=f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）的最小正周期是T=2π；
令x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
解得x=$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
所以函數y=f（x）的對稱軸是x=$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z；
（2）由（1）可得函數f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$），
在區(qū)間[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]上，x+$\frac{π}{3}$∈[0，$\frac{7π}{6}$]，
所以f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]；
所以g（x）=sin²[（x+$\frac{π}{2}$）+$\frac{π}{3}$]-asin（x+$\frac{π}{3}$）+1
=1-sin²（x+$\frac{π}{3}$）-asin（x+$\frac{π}{3}$）+1
=-${[f（x）+\frac{a}{2}]}^{2}$+2+$\frac{{a}^{2}}{4}$；
當-$\frac{1}{2}$≤-$\frac{a}{2}$≤1時，-2≤a≤1，函數g（x）的最小值是g（x）_min=2+$\frac{{a}^{2}}{4}$=0，無解；
當-$\frac{a}{2}$＜-$\frac{1}{2}$時，a＞1，函數g（x）的最小值是g（x）_min=2-$\frac{1}{4}$-a=0，解得a=$\frac{7}{4}$；
當-$\frac{a}{2}$＞1時，a＜-2，函數g（x）的最小值是g（x）_min=2-1-a=0，解得a=1（不合題意，舍去）；
綜上，函數g（x）取得最小值0時，a=$\frac{7}{4}$．

點評 本題考查了三角函數y=sin（ωx+φ）的圖象與性質的應用問題，也考查了含有字母系數的二次函數在閉區(qū)間上最值的應用問題，是綜合性題目．