Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x|，x≤m}\\{{x}^{2}-2mx+4m，x＞m}\end{array}\right.$，其中m＞0，若存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f（x）=b有三個(gè)不同的根，則m的取值范圍是（3，+∞）．

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x|，x≤m}\\{{x}^{2}-2mx+4m，x＞m}\end{array}\right.$的圖象，依題意，可得4m-m²＜m（m＞0），解之即可．

解答 解：當(dāng)m＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x|，x≤m}\\{{x}^{2}-2mx+4m，x＞m}\end{array}\right.$的圖象如下：
∵x＞m時(shí)，f（x）=x²-2mx+4m=（x-m）²+4m-m²＞4m-m²，
∴y要使得關(guān)于x的方程f（x）=b有三個(gè)不同的根，
必須4m-m²＜m（m＞0），
即m²＞3m（m＞0），
解得m＞3，
∴m的取值范圍是（3，+∞），
故答案為：（3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用是關(guān)鍵，分析得到4m-m²＜m是難點(diǎn)，屬于中檔題．