Question

14．設拋物線C：y²=4x焦點為F，其準線與x軸的交點為Q，過點F作直線與拋物線C交于A、B兩點，且∠QBF=90°，則|AF|-|BF|=（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 F（1，0）．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由∠QBF=90°，可得k_BFk_QB=$\frac{{y}_{2}^{2}}{{x}_{2}^{2}-1}$=-1，又${y}_{2}^{2}=4{x}_{2}$，聯(lián)立解得x₂=$\sqrt{5}$-2．取B$（\sqrt{5}-2，-2\sqrt{\sqrt{5}-2}）$，由A，F(xiàn)，B三點共線可得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$=$\frac{-2\sqrt{\sqrt{5}-2}}{\sqrt{5}-2-1}$，又${y}_{1}^{2}=4{x}_{1}$，聯(lián)立解出2．利用|AF|-|BF|=x₁-x₂即可得出．

解答 解：F（1，0）．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵∠QBF=90°，
∴k_BFk_QB=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$$•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$=$\frac{{y}_{2}^{2}}{{x}_{2}^{2}-1}$=-1，
又${y}_{2}^{2}=4{x}_{2}$，
∴$\frac{4{x}_{2}}{{x}_{2}^{2}-1}$=-1，化為${x}_{2}^{2}+4{x}_{2}$-1=0，解得x₂=$\sqrt{5}$-2．
∴取B$（\sqrt{5}-2，-2\sqrt{\sqrt{5}-2}）$，
可得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$=$\frac{-2\sqrt{\sqrt{5}-2}}{\sqrt{5}-2-1}$，又${y}_{1}^{2}=4{x}_{1}$，
聯(lián)立解得x₁=$\sqrt{5}$+2．
∴|AF|-|BF|=x₁-x₂=4．
故選：D．

點評 本題考查了拋物線與圓的標準方程及其性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關系、三點共線與斜率的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．