Question

7．已知函數(shù)f（x）=x²+$\frac{a}{x}$（x≠0，a∈R）在（0，2）上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （0，16]
• B． （-∞，16）
• C． （16，+∞）
• D． [16，+∞）

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a≥2x³在（0，2）恒成立，從而求出a的范圍即可．

解答 解：f（x）=x²+$\frac{a}{x}$，f′（x）=2x-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{2x}^{3}-a}{{x}^{2}}$，
若函數(shù)f（x）=x²+$\frac{a}{x}$（x≠0，a∈R）在（0，2）上為減函數(shù)，
則2x³-a≤0在（0，2）恒成立，
∴a≥2x³在（0，2）恒成立，
而2x³＜16，
故a≥16，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道基礎(chǔ)題．