Question

已知函數f（x）=1+

3

x-2

，x∈[3，7]．
（1）判斷函數f（x）的單調性，并用定義加以證明；
（2）求函數f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考點：函數的最值及其幾何意義,函數單調性的性質

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）由題設條件對任意x₁、x₂在所給區(qū)間內比較f（x₂）-f（x₁）與0的大小即可得出f（x）在R上是減函數；
（2）根據單調性得出函數的最值即可．

解答： 解：（1）函數f（x）在x∈[3，7]上單調遞減，證明如下：
設3≤x₁＜x₂≤7，
則f（x₁）-f（x₂）=

3

x1-2

-

3

x2-2

=

3(x2-x1)

(x1-2)(x2-2)

，
∵x₁-x₂＜0，（x₁-2）（x₂-2）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函數f（x）在[3，7]上的單調遞減．
（2）由（1）知，∴當x∈[3，7]時，f（x）_max=2，f（x）_min=

7

4

．

點評：本題考查靈活利用所給的恒等式證明函數的單調性，此類題要求答題者有較高的數學思辨能力，能從所給的條件中組織出證明問題的組合來．