Question

已知數(shù)列{a_n}(n∈N^*),滿足a₁=1,a₂=2,a₃=3,a₄=4,a₅=5.當(dāng)n≥5時，a_n+1=a₁a₂…a_n-1.若數(shù)列{b_n}(n∈N^*)滿足b_n=a₁a₂…a_n-a₁²-a₂²-…-a_n².

(1)求b₅;

(2)求證：當(dāng)n≥5時，b_n+1-b_n=-1;

(3)求證：僅存在兩個正整數(shù)m，使得a₁a₂…a_m=a₁²+a₂²+…+a_m².

Answer 1

(1)解析:b₅=1×2×3×4×5-1²-2²-3²-4²-5²=65.

(2)證明：b_n+1=a₁a₂…a_na_n+1-a₁²-a₂²-…-a_n²-a_n+1²

=a₁a₂…a_n（a₁a₂…a_n-1）-a₁²-a₂²-…-a²_n-(a₁a₂…a_n-1)²

=a₁a₂…a_n-a₁²-a₂²-…-a_n²-1

=b_n-1(n≥5),

∴b_n+1-b_n=-1(n≥5).

(3)證明：易算出b₁=0,b₂≠0,b₃≠0,b₄≠0,

當(dāng)n≥5時，b_n+1=b_n-1,這表明{b_n}從第5項開始，構(gòu)成一個以b₅=65為首項，公差為-1的等差數(shù)列.

由b_m=b₅+(m-5)×(-1)=65-m+5=0,解出m=70.

因此，滿足a₁a₂…a_m=a₁²+a₂²+…+a_m²的正整數(shù)只有兩個：

m=70或m=1.