【題目】已知函數(shù)
(1)若
，當
時，求
的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)
有唯一的零點，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）
的單調(diào)增區(qū)間為
，的單調(diào)減區(qū)間為
，（2）實數(shù)
的取值范圍為
。
【解析】
（1）對函數(shù)
求導，把
代入導函數(shù)中，利用導函數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間；
（2）函數(shù)
有唯一的零點等價于方程
有唯一實數(shù)根，利用導數(shù)研究函數(shù)
與
的交點即可求出實數(shù)的取值范圍。
（1）由題可得：
，定義域為
，
，
，
令
得：
或
（舍去）
令
得：
或
，結(jié)合定義域得：
令得：
，結(jié)合定義域得：
的單調(diào)增區(qū)間為，的單調(diào)減區(qū)間為，
（2）函數(shù)有唯一的零點等價于
只有唯一的實數(shù)根，
顯然
，則只有唯一的實數(shù)根等價于關(guān)于
的方程有唯一實數(shù)根，
構(gòu)造函數(shù)
，則
，
令
，解得：
，
令
，解得：
，則函數(shù)
在
上單調(diào)遞增；
令
，解得：
，則函數(shù)在
上單調(diào)遞減；
的極小值為
，
如圖，作出函數(shù)的大致圖像，則要使方程只有唯一實數(shù)根，只需要直線
與曲線
只有唯一交點，
或
，解得：
或
，
故實數(shù)的取值范圍為
第1卷單元月考期中期末系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在正方體
中邊長AB為2，P為正方形A1B1C1D1四邊上的動點，O為底面正方形ABCD的中心，Q為正方形ABCD內(nèi)一點，M，N分別為AB，BC上靠近A和C的三等分點，若線段
與OP相交且互相平分，則點Q的軌跡與線段MN形成的封閉圖形的面積為____．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，
.
（1）當
時，求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（2）討論函數(shù)的零點個數(shù).
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
的導函數(shù)為
，且
，其中
為自然對數(shù)的底數(shù).
（1）求函數(shù)的最大值；
（2）證明 ：
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1為矩形，AB=2，AA1=2
，D是AA1的中點，BD與AB1交于點O，且CO⊥ABB1A1平面．
（1）證明：BC⊥AB1；
（2）若OC=OA，求直線CD與平面ABC所成角的正弦值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C：ρsin2θ＝2acos θ(a>0)，過點P(－2，－4)的直線l： 
(t為參數(shù))與曲線C相交于M，N兩點．
(1)求曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；
(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求實數(shù)a的值．
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