Question

【題目】已知?jiǎng)訄A在圓：外部且與圓相切，同時(shí)還在圓：內(nèi)部與圓相切．

（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡方程；

（2）記（1）中求出的軌跡為，與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為、，是上異于、的動(dòng)點(diǎn)，又直線與軸交于點(diǎn)，直線、分別交直線于、兩點(diǎn)，求證：為定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）由直線與圓相切，則，則點(diǎn)的軌跡是以 ，為焦點(diǎn)的橢圓，即可求得橢圓方程；

（2）方法一：設(shè)，分別求得直線的方程，直線的方程，分別求得點(diǎn)和的坐標(biāo)，則，即可求得為定值；
方法二：設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，聯(lián)立直線的方程與直線的方程，求出點(diǎn)坐標(biāo)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，即可求得，為定值．

（1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為，由已知得，，，

點(diǎn)的軌跡是以 ，為焦點(diǎn)的橢圓，

設(shè)橢圓方程：（），則，，則，

方程為：；

（2）解法一：設(shè) ，由已知得， ，則，，

直線的方程為：，

直線的方程為：，

當(dāng)時(shí)，，，

，

又滿足，

，

為定值．

解法二：由已知得，，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，由已知得，，存在且不為零，

直線的方程為：，

直線的方程為：，

當(dāng)時(shí)，，，

,

聯(lián)立直線和直線的方程，可得點(diǎn)坐標(biāo)為，

將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程中,得，

即，

整理得 ，

，，

為定值．