Question

橢圓的兩個焦點坐標(biāo)分別為和，且橢圓過點（）
（1）求橢圓方程；
（2）過點作直線l交該橢圓于M，N兩點（直線l不與x軸重合），A為橢圓的左頂點，試判斷∠MAN的大小是否為定值，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意，橢圓的焦點在x軸上，求出點到焦點的距離即可求得橢圓方程；
（2）分直線MN的斜率存在與補(bǔ)存在，進(jìn)行討論，利用向量的數(shù)量積為0，可得結(jié)論．
解答：解：（1）由題意，設(shè)橢圓方程為
則，得a=2，b=1
∴橢圓方程為．（4分）
（2）當(dāng)直線MN⊥x軸時，直線MN的方程為，代入橢圓方程得，∴
設(shè)直線MN與x軸交于點P，且A（-2，0）；得
∴，得
∴若∠MAN的大小為定值，則必為．（6分）
下面判斷當(dāng)直線MN的斜率存在且不為0時∠MAN的大小是否為定值
設(shè)直線MN的方程為：，
聯(lián)立直線MN和曲線C的方程可得：得：，（8分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則，（10分）
則
∴
∴∠MAN的大小為定值．（12分）
點評：本題以橢圓為載體，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查定值的探求，關(guān)鍵是正確理解橢圓的定義，對于定值，可從特殊入手進(jìn)行猜想，再給出一般性的證明．