Question

【題目】（12分）已知函數(shù) ．

（1）若x=2是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1,f（1））處的切線方程；

（2）若函數(shù)f（x）在 上為單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍；

（3）設(shè)m，n為正實(shí)數(shù)，且m>n，求證： ．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：（1）導(dǎo)函數(shù)為，由，解得并檢驗(yàn)，再求得，切點(diǎn)為（1,0），由點(diǎn)斜式可求得切線方程。（2）由題意可在上恒成立，所以在上恒成立，分離參數(shù)得，所以， 。（3）由于是多個(gè)變量，所以利用變形，換元變成一個(gè)變量，變形為，設(shè)．求導(dǎo)可證h(x)>0.

試題解析：（1），由題意知，代入得，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意． 從而切線斜率，切點(diǎn)為（1,0），所以切線方程為

（2），因?yàn)閒（x）在上為單調(diào)增函數(shù)，

所以在上恒成立，即在上恒成立．

當(dāng)時(shí)，由，得．

設(shè) 。， ．

所以當(dāng)且僅當(dāng)，即x=1時(shí)，g（x）有最小值2．

所以，所以．

所以a的取值范圍是．

（3）要證，只需證，只需證，設(shè)．

由（2）知在上是單調(diào)增函數(shù)，又．

所以，

即成立，所以