Question

在雙曲線的一支上不同三點A(x₁,y₁)、B(,6)、C(x₂,y₂)與焦點F(0,5)的距離成等差數列.

(1)求y₁+y₂的值;

(2)證明線段AC的垂直平分線經過定點,并求出定點的坐標.

Answer 1

分析:對于(1),由于(x₁,y₁)、(x₂,y₂)均在上,因此可以先將x₁和y₁當作已知數,分別求出|BF|、|AF|和|CF|,然后運用等差中項知識求解;另外,AF、BF、CF是雙曲線的焦半徑,亦可用焦半徑公式求解.對于(2)應先寫出垂直平分線方程,由于A、C是動點,故垂直平分線方程中必含有字母系數,再討論直線過哪一個與字母無關的定點.

解:(1)依題意可知,點A、B、C同在雙曲線的上支,又上焦點對應的上準線方程為y=,離心率為e,根據雙曲線第二定義,知

|AF|=e(y₁-),|BF|=e(6-),|CF|=e(y₂-).

由于|AF|、|BF|、|CF|成等差數列,

故有|AF|+|CF|=2|BF|,

即e(y₁-)+e(y₂-)=2e(6-).

∴y₁+y₂=12.

(2)設AC的中點為M(x₀,y₀),AC的垂直平分線為l,斜率為k,則有y₀=分 y₁+y₂[]2式=6,l的方程為y=k(x-x₀)+6,                             ①

②-③,得13(y₁²-y₂²)-12(x₁²-x₂²)=0,

即13(y₁-y₂)(y₁+y₂)-12(x₁-x₂)(x₁+x₂)=0.

∴13×12(y₁-y₂)-12×2(x₁-x₂)x₀=0.

∴

∴

∴AC的垂直平分線方程為

若使上式對一切實數k恒成立,則x=0,y=,即直線l過定點(0,).

綠色通道：

遇到焦點的弦的問題或雙曲線上的點到焦點的距離的問題,要注意焦半徑公式的應用.

對于直線過定點問題,一般利用相交直線系方程y-y₀=k(x-x₀)的形式來求定點.