Question

13．設m∈R，過定點A的動直線mx+y-1=0與過定點B的動直線x-my+m+2=0交于點P（x，y），則|$\overrightarrow{PA}$|+|$\overrightarrow{PB}$|的取值范圍為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由動直線mx+y-1=0，解得A（0，1），同理可得B（-2，1）．|AB|=2．求出P的方程，當PA⊥PB時，|$\overrightarrow{PA}$|²+|$\overrightarrow{PB}$|²=|AB|²=4，利用基本不等式即可得出結果．

解答 解：由動直線mx+y-1=0，令$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y-1=0}\end{array}\right.$，解得A（0，1），同理可得B（-2，1）．
∵|AB|=$\sqrt{{2}^{2}+0}$=2．
∴當PA⊥PB時|$\overrightarrow{PA}$|²+|$\overrightarrow{PB}$|²=|AB|²=4，
$\left\{\begin{array}{l}{mx+y-1=0}\\{x-my+m+2=0}\end{array}\right.$，可得P的軌跡方程為：x²+y²-2y+2x+1=0．圓心為（-1，1）半徑為1的圓，A，B在圓上，
∴|$\overrightarrow{PA}$|+|$\overrightarrow{PB}$|≤$\sqrt{2（|\overrightarrow{PA}{|}^{2}+|\overrightarrow{PB}{|}^{2}）}$=2$\sqrt{2}$，當且僅當|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{PB}$|=$\sqrt{2}$時取等號．
∴|$\overrightarrow{PA}$|+|$\overrightarrow{PB}$|的最大值為2$\sqrt{2}$．
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了直線系、勾股定理、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．