Question

12．已知x＞0，y＞0，且x+3y=2，則$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的最小值是2+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由題意可得1=$\frac{1}{2}$（x+3y），$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）（x+3y），展開后，由基本不等式求最值可得．

解答 解：∵x＞0，y＞0，且x+3y=2，
即1=$\frac{1}{2}$（x+3y），
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）（x+3y）
=$\frac{1}{2}$（4+$\frac{3y}{x}$+$\frac{x}{y}$）≥$\frac{1}{2}$（4+2$\sqrt{\frac{3y}{x}•\frac{x}{y}}$）=$\frac{1}{2}$（4+2$\sqrt{3}$）=2+$\sqrt{3}$，
當且僅當$\frac{3y}{x}$=$\frac{x}{y}$，即x=$\sqrt{3}$-1，y=1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$時取等號，
則所求最小值為2+$\sqrt{3}$．
故答案為：2+$\sqrt{3}$．

點評 本題考查基本不等式求最值，注意乘1法的運用，屬中檔題和易錯題．