Question

（本小題滿分12分）定義在上的函數(shù)滿足下面三個條件：

①對任意正數(shù)，都有；

②當時，；

③．

（1）求和的值；

（2）試用單調(diào)性定義證明：函數(shù)在上是減函數(shù)；

（3）求滿足的的取值集合.

 

Answer 1

（1），；（2）略；（3）．

【解析】

試題分析：（1）因為對任意正數(shù)，都有，所以令得，令得，令，得，對正數(shù)恰當賦值是解此類題目的關鍵；（2）任取，，且，則，，，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，變形是證明此題的關鍵；（3）利用（1）中，（2）中函數(shù)在上是減函數(shù)，將等價變形為，解得，這里逆用單調(diào)性定義，將函數(shù)值之間的關系轉(zhuǎn)化為符合條件的自變量間的關系是解此類問題最基本的方法．

試題解析：（1）∵對任意正數(shù)，都有，∴令得，

∴， 2分

∵，∴，． 4分（2）任取，，且， 5分

則，∵當時，，∴； 6分

∴ 7分

∴函數(shù)在上是減函數(shù)． 8分

（3）∵，∴，解得， 9分

∴，即，亦即， 10分

∴，解得， 11分

∴的解集為． 12分

考點：①用賦值法求抽象函數(shù)的函數(shù)值；②抽象函數(shù)的單調(diào)性的證明；③利用抽象函數(shù)的單調(diào)性解不等式．