Question

【題目】已知函數(shù)的圖象與軸相切，且切點(diǎn)在軸的正半軸上.

（1）若函數(shù)在上的極小值不大于，求的取值范圍；

（2）設(shè)，證明: 在上的最小值為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）定值

【解析】試題分析：（1）函數(shù)的圖象與軸相切可得。所以， ，對(duì)分類討論可得①當(dāng)時(shí)， 無(wú)極值；②當(dāng)時(shí)， 在處取得極小值；③當(dāng)時(shí)， 在上無(wú)極小值。綜上得當(dāng)當(dāng)時(shí)， 在上有極小值，解得。（2），所以 ，令，則，分析可得，故在上遞增，因此，所以當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增。故為定值。

試題解析：

（1）解：∵，

∴令得，

由題意可得，∴ .

∴，

∴，

①當(dāng)，即時(shí)， 無(wú)極值.

②當(dāng)，即時(shí)，

令得；

令得或，

∴ 當(dāng)時(shí)， 有極小值.

③當(dāng)，即時(shí)， 在上無(wú)極小值。

綜上可得當(dāng)時(shí)， 在上有極小值，且極小值為，

即.

∵，

∴，

解得 ，

又，

∴。

∴ 實(shí)數(shù)的取值范圍為。

（2）證明：由條件得，

，

設(shè)，

則，

∵，∴ ，

又，

∴，

∴，

∴在上遞增，

∴.

由得；由得.

∴當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增。

∴ 當(dāng)時(shí)， 有極小值，也為最小值，且為定值.