Question

已知實(shí)數(shù)滿足，，設(shè)函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，求的極小值；

（2）若函數(shù)（）的極小值點(diǎn)與的極小值點(diǎn)相同，求證：的極大值小于等于

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（1）把代入原函數(shù)先得解析式，再求導(dǎo)數(shù)，列表判斷單調(diào)性求函數(shù)的極小值；（2）先分別求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再分兩種情況討論，根據(jù)條件函數(shù)的極小值點(diǎn)相同分別求的極大值，從而進(jìn)行判斷得結(jié)論

試題解析：（Ⅰ） 解: 當(dāng)a＝2時(shí)，f ′（x）＝x²－3x＋2＝（x－1）（x－2）  

 列表如下：

x	（－，1）	1	（1，2）	2	（2，＋）
f ′（x）	＋	0	－	0	＋
f （x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

 

所以，f （x）極小值為f （2）＝                          5分

（Ⅱ） 解：f ′（x）＝x²－（a＋1）x＋a＝（x－1）（x－a）

g ′（x）＝3x²＋2bx－（2b＋4）＋＝

令p（x）＝3x²＋（2b＋3）x－1，

（1）當(dāng) 1＜a≤2時(shí)，

f（x）的極小值點(diǎn)x＝a，則g（x）的極小值點(diǎn)也為x＝a，

所以pA＝0，

即3a²＋（2b＋3）a－1＝0，

即b＝，

此時(shí)g（x）_極大值＝g（1）＝1＋b－（2b＋4）＝－3－b

＝－3＋ ＝  

由于1＜a≤2，

故 ≤2－－＝               10分

（2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，

f（x）的極小值點(diǎn)x＝1，則g（x）的極小值點(diǎn)為x＝1，

由于p（x）＝0有一正一負(fù)兩實(shí)根，不妨設(shè)x₂＜0＜x₁，

所以0＜x₁＜1，

即p（1）＝3＋2b＋3－1＞0，

故b＞－  

此時(shí)g（x）的極大值點(diǎn)x＝x₁，

有 g（x₁）＝x₁³＋bx₁²－（2b＋4）x₁＋lnx₁

＜1＋bx₁²－（2b＋4）x₁

＝（x₁²－2x₁）b－4x₁＋1　  （x₁²－2x₁＜0）

＜－（x₁²－2x₁）－4x₁＋1

＝－x₁²＋x₁＋1

＝－（x₁－）²＋1＋   （0＜x₁＜1）

≤＜

綜上所述，g（x）的極大值小于等于               14分

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及極值