Question

1．已知二次函數(shù)f（x）=x²-2$\sqrt{a}$x+b．
（1）若系數(shù)a，b都可隨機取集合{0，1，2}中任何一數(shù)字，求方程f（x）=0有實根的概率；
（2）若系數(shù)a，b都可隨機取區(qū)間[0，3]中任何一實數(shù)，求方程f（x）=0有實根的概率．

Answer 1

分析 （1）為古典概型，只需列舉出所有的基本事件和符合條件的基本事件，作比值即可；
（2）為幾何概型，只要得出兩個區(qū)域的面積，由幾何概型的公式可得．

解答 解：（1）∵a為取集合{0，1，2}中任一個元素，b為取集合{0，1，2}中任一個元素，
∴a，b的取值的情況有（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），
（2，0），（2，1），（2，2）．其中第一個數(shù)表示a的取值，
第二個數(shù)表示b的取值，即基本事件總數(shù)為：9
設(shè)“方程f（x）=0有實根”為事件A，
當(dāng)a≥0，b≥0時，方程f（x）=0有實根的充要條件為：a≥2b．
當(dāng)a≥2b時，a，b取值的情況有（0，0），（1，0），（2，0），
即A包含的基本事件數(shù)為：3，
∴方程f（x）=0有兩個不相等實根的概率：p（A）=$\frac{3}{9}$=$\frac{1}{3}$；
（2）∵a是從區(qū)間[0，3]中任取一個數(shù)，b是從區(qū)間[0，3]中任取一個數(shù)，
則試驗的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域Ω={（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤3}，
這是一個矩形區(qū)域，其面積S_Ω=3×3=9．
設(shè)“方程f（x）=0有實根”為事件B，則事件B所構(gòu)成的區(qū)域為
M={（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤3，a≥2b}，
由幾何概型的概率計算公式可得方程f（x）=0有實根的概率：
p（B）=$\frac{{S}^{′}}{S}$=$\frac{1}{4}$．

點評 本題以一元二次方程的根為載體，考查古典概型和幾何概型．