Question

19．觀察下列不等式：
1＜$\frac{4}{3}$；
1+$\frac{1}{{2}^{2}}$＜$\frac{8}{5}$；
1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$＜$\frac{12}{7}$；
1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$＜$\frac{16}{9}$；
…
（1）由上述不等式，歸納出與正整數(shù)n有關(guān)的一個一般性結(jié)論：
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你得到的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由上述不等式，歸納出表達式的左側(cè)的關(guān)系與右側(cè)分子與分母的特征寫出一個正整數(shù)n（n≥2）有關(guān)的一般性結(jié)論；
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明步驟，直接證明即可．

解答 解：（1）觀察下列不等式：
1＜$\frac{4}{3}$；
1+$\frac{1}{{2}^{2}}$＜$\frac{8}{5}$=$\frac{4×2}{2×2+1}$；
1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$＜$\frac{12}{7}$=$\frac{4×3}{2×3+1}$；
1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$＜$\frac{16}{9}$=$\frac{4×4}{2×4+1}$；
…
由上述不等式可得1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{4n}{2n+1}$，
（2）以下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個不等式．
①當(dāng)n=1時，由題設(shè)可知，不等式顯然成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時，不等式成立，即1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{k}^{2}}$＜$\frac{4k}{2k+1}$，
那么，當(dāng)n=k+1時，有1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{k}^{2}}$+$\frac{1}{（k+1）^{2}}$＜$\frac{4k}{2k+1}$+$\frac{1}{（k+1）^{2}}$
=$\frac{4k}{2k+1}$+$\frac{4}{（2k+2）（2k+2）}$＜$\frac{4k}{2k+1}$+$\frac{4}{（2k+1）（2k+3）}$
=$\frac{4k（2k+3）+4}{（2k+1）（2k+3）}$=$\frac{4（2{k}^{2}+3k+1）}{（2k+1）（2k+3）}$=$\frac{4（2k+1）（k+1）}{（2k+1）（2k+3）}$=$\frac{4（k+1）}{2k+3}$．
所以當(dāng)n=k+1時，不等式也成立．
根據(jù)①和②，可知不等式對任何n∈N₊都成立．

點評 本題考查歸納推理以及數(shù)學(xué)歸納法的證明方法的應(yīng)用，考查邏輯推理能力以及計算能力，放縮法的應(yīng)用．