Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，它的一個焦點恰好與拋物線的焦點重合.
求橢圓的方程；
設(shè)橢圓的上頂點為，過點作橢圓的兩條動弦，若直線斜率之積為，直線是否一定經(jīng)過一定點?若經(jīng)過，求出該定點坐標；若不經(jīng)過，請說明理由.

Answer 1

（1）；（2）恒過一定點.

解析試題分析：（1）可設(shè)橢圓方程為,因為橢圓的一個焦點恰好與拋物線的焦點重合，所以，又，所以，又因，得，所以橢圓方程為；
（2）由（1）知，當直線的斜率不存在時，可設(shè)，設(shè)，則，
易得，不合題意；故直線的斜率存在.設(shè)直線的方程為：，()，并代入橢圓方程，得： ①，設(shè)，則是方程①的兩根，由韋達定理，由，利用韋達定理代入整理得，又因為，所以，此時直線的方程為，即可得出直線的定點坐標.
（1）由題意可設(shè)橢圓方程為,
因為橢圓的一個焦點恰好與拋物線的焦點重合，所以，
又，所以，
又因，得，
所以橢圓方程為；    
（2）由（1）知，
當直線的斜率不存在時，設(shè)，設(shè)，則，
，不合題意.
故直線的斜率存在.設(shè)直線的方程為：，()，并代入橢圓方程，得：
 ①
由得 ②
設(shè)，則是方程①的兩根，由韋達定理
，
由得：
，
即，整理得
，
又因為，所以，此時直線的方程為.
所以直線恒過一定點     
考點：橢圓的標準方程；圓錐曲線的定點問題.