Question

20．設(shè)f（x）=|ax+2|+x-1（a＞0）．
（1）若a=1，請(qǐng)將f（x）寫(xiě)成分段函數(shù)的形式并求出f（x）的最小值；
（2）若對(duì)?x≥1，f（x）≥3成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）討論x的范圍，去掉絕對(duì)值可得分段函數(shù)，再由一次函數(shù)的單調(diào)性可得最小值；
（2）由題意可得ax+x≥2，即有a≥$\frac{2}{x}$-1，運(yùn)用單調(diào)性求得右邊函數(shù)的最大值，可得a的范圍．

解答 解：（1）f（x）=|x+2|+x-1，
即有f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+1，x≥-2}\\{-3，x＜-2}\end{array}\right.$，
當(dāng)x≥-2時(shí)，可得f（x）≥-3，
則f（x）的最小值為-3；
（2）對(duì)?x≥1，f（x）≥3成立，
即有|ax+2|+x-1≥3，
由a＞0，x≥1，可得ax+x≥2，
即有a≥$\frac{2}{x}$-1，
由$\frac{2}{x}$-1≤2-1=1，
可得a≥1，即a的范圍是[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查含絕對(duì)值函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用分段函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離，屬于中檔題．