Question

6．已知焦點在x軸上的雙曲線的離心率為$\sqrt{3}$，虛軸長為2$\sqrt{2}$．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）已知直線x-y+m=0與雙曲線C交于不同的兩點A，B，若OA⊥OB，求m的值．（O為坐標(biāo)原點）

Answer 1

分析 （1）設(shè)出雙曲線的方程，由離心率公式和a，b，c的關(guān)系，求得a，b，即可得到所求方程；
（2）聯(lián)立直線方程和雙曲線的方程，消去y，可得x的方程，運用韋達定理和直線垂直的條件，計算即可得到所求m的值．

解答 解：（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），
由題意可得2b=2$\sqrt{2}$，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，c²=a²+b²，
解得a=1，b=$\sqrt{2}$，
故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）聯(lián)立直線方程與雙曲線方程得：$\left\{\begin{array}{l}{x-y+m=0}\\{2{x}^{2}-{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，
消去y，可得x²-2mx-2-m²=0，
判別式△=4m²+4（2+m²）＞0，恒成立，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韋達定理知：x₁+x₂=2m，x₁x₂=-2-m²，
由OA⊥OB，可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0，
由y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m）=x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²，
可得2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=0，
即-2m²-4+2m²+m²=0，解得m=±2，成立．
故m的值為±2．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是離心率的運用，考查直線方程和雙曲線的方程聯(lián)立，運用韋達定理，以及兩直線垂直的條件，考查運算能力，屬于中檔題．