Question

4．已知拋物線C：y²=2px（p＞0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)M（2p，0）作直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)．有如下命題：
①|(zhì)$\overrightarrow{OA}{|^2}+|\overrightarrow{OB}{|^2}=|\overrightarrow{AB}{|^2}$
②|$\overrightarrow{AB}$|≥4p
③（S_△OAB）_min=4p²
④△OAB周長(zhǎng)的最小值為$4（1+\sqrt{2}）p$
則上述命題正確的是（　　）

• A． ①②
• B． ①②③
• C． ②③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)直線AB的方程為：x=my+2p，與拋物線方程聯(lián)立可得y²-2pmy-4p²=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0，得到OA⊥OB，|$\overrightarrow{OA}{|^2}+|\overrightarrow{OB}{|^2}=|\overrightarrow{AB}{|^2}$，可知①正確；利用弦長(zhǎng)公式可得$|\overrightarrow{AB}|$=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4y{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[4{p}^{2}{m}^{2}+16{p}^{2}]}$，可知②正確
原點(diǎn)O到直線AB的距離h=$\frac{2p}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$．利用S_△OAB=$\frac{1}{2}h•|AB|$，即可判斷出面積最小值；利用|OA|+|OB|≥$2\sqrt{|OA||OB|}$≥$2\sqrt{8{p}^{2}}$=$4\sqrt{2}$p，及其②即可判斷出④的正誤．

解答 解：如圖所示，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
設(shè)直線AB的方程為：x=my+2p，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2p}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，
∴y²-2pmy-4p²=0，
∴y₁+y₂=2pm，y₁y₂=-4p²，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（my₁+2p）（my₂+2p）+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂+2pm（y₁+y₂）+4p²=-4p²（1+m²）+4p²m²+4p²=0，
∴OA⊥OB，∴|$\overrightarrow{OA}{|^2}+|\overrightarrow{OB}{|^2}=|\overrightarrow{AB}{|^2}$；
∴$|\overrightarrow{AB}|$=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4y{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[4{p}^{2}{m}^{2}+16{p}^{2}]}$≥4p，當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)取等號(hào)．
原點(diǎn)O到直線AB的距離h=$\frac{2p}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$．
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}h•|AB|$=$\frac{1}{2}×\frac{2p}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$×$\sqrt{（1+{m}^{2}）[4{p}^{2}{m}^{2}+16{p}^{2}]}$≥4p²，當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)取等號(hào)．
∵|OA|+|OB|≥$2\sqrt{|OA||OB|}$≥$2\sqrt{8{p}^{2}}$=$4\sqrt{2}$p，
∴△OAB周長(zhǎng)=|OA|+|OB|+|AB|≥$4（1+\sqrt{2}）p$．
綜上可知：①②③④都正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．