Question

14．已知函數(shù)$f（x）=lnx-\frac{1}{2}a{x^2}$（a∈R）．
（1）若f（x）在點（2，f（2））處的切線與直線2x+y+2=0垂直，求實數(shù)a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e²]上零點的個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由直線垂直的條件：斜率之積為-1，解方程可得a的值；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論當(dāng)a≤0時，當(dāng)a＞0時，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，注意定義域；
（3）對a討論，當(dāng)a＜0時，當(dāng)a=0時，當(dāng)a＞0時，判斷f（x）的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理，即可判斷零點個數(shù)．

解答 解：（1）由題可知f（x）的定義域為（0，+∞），
因為$f（x）=lnx-\frac{1}{2}a{x^2}$，所以$f'（x）=\frac{1}{x}-ax$=$\frac{{1-a{x^2}}}{x}$，
可得切線的斜率為$\frac{1-4a}{2}$，
又因為切線與直線2x+y+2=0垂直，
直線2x+y+2=0的斜率為-2，
可得（-2）×$\frac{1-4a}{2}$=-1，解得a=0；
（2）由（1）知：$f'（x）=\frac{1}{x}-ax$=$\frac{{1-a{x^2}}}{x}$，x＞0，
當(dāng)a≤0時，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞0時，由f'（x）＞0得$x＜\sqrt{\frac{1}{a}}$，由f'（x）＜0得$x＞\sqrt{\frac{1}{a}}$，
所以f（x）在$（{0，\sqrt{\frac{1}{a}}}）$上單調(diào)遞增，在$（{\sqrt{\frac{1}{a}}，+∞}）$上單調(diào)遞減．
綜上所述：當(dāng)a≤0時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞0時，f（x）在$（{0，\sqrt{\frac{1}{a}}}）$上單調(diào)遞增，在$（{\sqrt{\frac{1}{a}}，+∞}）$上單調(diào)遞減；
（3）由（2）可知，
當(dāng)a＜0時，f（x）在[1，e²]上單調(diào)遞增，
而f（1）=-$\frac{1}{2}$a＞0，故f（x）在[1，e²]上沒有零點；
當(dāng)a=0時，f（x）在[1，e²]上單調(diào)遞增，
而f（1）=-$\frac{1}{2}$a=0，故f（x）在[1，e²]上有一個零點；
當(dāng)a＞0時，①若$\sqrt{\frac{1}{a}}≤1$，即a≥1時，f（x）在[1，e²]上單調(diào)遞減，
∵$f（1）=-\frac{1}{2}a＜0$，∴f（x）在[1，e²]上沒有零點；
②若$1＜\sqrt{\frac{1}{a}}≤{e^2}$，即$\frac{1}{e^4}＜a＜1$時，f（x）在$[{1，\sqrt{\frac{1}{a}}}]$上單調(diào)遞增，
在$[{\sqrt{\frac{1}{a}}，{e^2}}]$上單調(diào)遞減，而$f（1）=-\frac{1}{2}a＜0$，$f（{\sqrt{\frac{1}{a}}}）=-\frac{1}{2}lna-\frac{1}{2}$，$f（{e^2}）=2-\frac{1}{2}a{e^4}$，
若$f（{\sqrt{\frac{1}{a}}}）=-\frac{1}{2}lna-$$\frac{1}{2}＜0$，即$a＞\frac{1}{e}$時，f（x）在[1，e²]上沒有零點；
若$f（{\sqrt{\frac{1}{a}}}）=-\frac{1}{2}lna-$$\frac{1}{2}=0$，即$a=\frac{1}{e}$時，f（x）在[1，e²]上有一個零點；
若$f（{\sqrt{\frac{1}{a}}}）=-\frac{1}{2}lna-$$\frac{1}{2}＞0$，即$a＜\frac{1}{e}$時，由$f（{e^2}）=2-\frac{1}{2}a{e^4}＞0$得$a＜\frac{4}{e^4}$，
此時，f（x）在[1，e²]上有一個零點；
由$f（{e^2}）=2-\frac{1}{2}a{e^4}≤0$得$a≥\frac{4}{e^4}$，此時，f（x）在[1，e²]上有兩個零點；
③若$\sqrt{\frac{1}{a}}≥{e^2}$，即$0＜a≤\frac{1}{e^4}$時，f（x）在[1，e²]上單調(diào)遞增，
∵$f（1）=-\frac{1}{2}a＜0$，$f（{e^2}）=2-\frac{1}{2}a{e^4}＞0$，∴f（x）在[1，e²]上有一個零點．
綜上所述：當(dāng)$0≤a＜\frac{4}{e^4}$或$a=\frac{1}{e}$時，f（x）在[1，e²]上有一個零點；
當(dāng)a＜0或$a＞\frac{1}{e}$時，f（x）在[1，e²]上沒有零點；
當(dāng)$\frac{4}{e^4}≤a＜\frac{1}{e}$時，f（x）在[1，e²]上有兩個零點．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，同時考查函數(shù)的零點個數(shù)問題的解法，注意運用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，以及分類討論的思想方法，正確分類是解題的關(guān)鍵，屬于難題．