Question

（2013•湛江一模）橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，P是橢圓上任一點(diǎn)，則

|PF1|

•

|PF2|

的取值范圍是（　　）

A．（0，4]

B．（0，3]

C．[3，4）

D．[3，4]

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓方程設(shè)出P的坐標(biāo)，求出F₁、F₂，坐標(biāo)，然后表示出

|PF1|

•

|PF2|

．利用三角函數(shù)的有界性求出數(shù)量積的范圍．

解答：解：因?yàn)闄E圓

x2

4

+

y2

3

=1的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
P是橢圓上任一點(diǎn)（2cosθ，

3

sinθ），θ∈R
所以

PF1

=(-1-2cosθ，-

3

sinθ)，

PF2

=(1-2cosθ，-

3

sinθ)，
所以

|PF1|

•

|PF2|

=

(-1-2cosθ)2+3sin2θ

•

(1-2cosθ)2+3sin2θ

=

(2+cosθ)2

•

(2-cosθ)2

=4-cos²θ
因?yàn)棣取蔙，cos²θ∈[0，1]，
4-cos²θ∈[3，4]．
所以

|PF1|

•

|PF2|

的取值范圍是：[3，4]．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，橢圓的參數(shù)方程，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，三角函數(shù)的值域，考查計(jì)算能力．