Question

直線l與橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，已知

m

=（ax₁，by₁），

n

=（ax₂，by₂），若

m

⊥

n

且橢圓的離心率e=

3

2

，又橢圓經(jīng)過點(

3

2

，1)，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線l過橢圓的焦點F（0，c）（c為半焦距），求直線l的斜率k的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由橢圓的離心率公式和a，b，c的關(guān)系及橢圓經(jīng)過點(

3

2

，1)，得到a，b，c的方程，解得即可；
（Ⅱ）設(shè)l的方程為y=kx+

3

，聯(lián)立橢圓方程，消去y，得到x的方程，運用韋達定理和判別式大于0，
再由向量垂直的坐標表示，整理化簡得到k的方程，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵

e= c a = a2-b2 a = 3 2 1 a2 + 3 4b2 =1

∴a=2，b=1∴橢圓的方程為

y2

4

+x2=1
（Ⅱ）依題意，設(shè)l的方程為y=kx+

3

，
由 

y=kx+ 3 y2 4 +x2=1

⇒(k2+4)x2+2

3

kx-1=0，
顯然△=12k²+4（k²+4）＞0，x1+x2=

-2 3k

k2+4

，x1x2=

-1

k2+4

，
由

m

⊥

n

得

m

•

n

=0，即有
a2x1x2+b2y1y2=4x1x2+(kx1+

3

)(kx2+

3

)=(4+k2)x1x2+

3

k(x1+x2)+3
=(k2+4)(-

1

k2+4

)+

3

k•

-2 3 k

k2+4

+3=0，
解得k=±

2

．
即得直線l的斜率k的值為±

2

．

點評：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去未知數(shù)，運用韋達定理，同時考查向量垂直的坐標表示，考查運算能力，屬于中檔題．