Question

已知點(diǎn)P（a，b）（a＞b＞0）與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂構(gòu)成等腰三角形，則橢圓的離心率e=

1

2

．

Answer 1

分析：作出橢圓和點(diǎn)P如圖，可得△PF₁F₂中∠PF₂F₁為鈍角，所以若△PF₁F₂是等腰三角形，必定PF₂=F₁F₂=2c，根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式建立關(guān)于a、b、c的方程，解之得a=2c，由此可得橢圓的離心率．

解答：解：∵橢圓的方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1，
∴焦點(diǎn)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），其中c=

a2-b2

  
又∵點(diǎn)P（a，b）與焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂構(gòu)成等腰三角形，
∴PF₂=F₁F₂=2c，根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式得：

(a-c)2+b2

=2c
兩邊平方，得（a-c）²+b²=4c²，即（a-c）²+a²-c²=4c²
∴2a²-2ac-4c²=0，即a²-ac-2c²=0，可得（a+c）（a-2c）=0
∵a＞c＞0，∴a+c＞0，a=2c，橢圓的離心率為e=

c

a

=

1

2

故答案為：

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題給出點(diǎn)P（a，b）與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形，欲求橢圓的離心率，著重考查了橢圓的基本概念與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．