Question

【題目】已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線x2=8y的焦點(diǎn)．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線x=﹣2與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，A，B是橢圓上位于直線x=﹣2兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，若直線AB的斜率為，求四邊形APBQ面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

⑴設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1(a>b>0)，由已知可得b=2，，由此求出答案

⑵先求出，設(shè)直線AB的方程為,與聯(lián)立得，由此利用根的判別式，韋達(dá)定理，橢圓弦長公式，結(jié)合已知能求出答案

(1)橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,

故設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為=1(a>b>0).

∵橢圓的離心率等于,它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線x2=8y的焦點(diǎn)(0,2),

∴b=2,e=,a2=b2+c2,

∴解得a2=16,b2=12,

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.

(2)直線x=-2與橢圓=1交點(diǎn)P(-2,3),Q(-2,-3)或P(-2,-3),Q(-2,3),

∴|PQ|=6.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為y=x+m,與=1聯(lián)立得x2+mx+m2-12=0.

由Δ=m2-4(m2-12)>0,得-4<m<4.

由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=-m,x1x2=m2-12.

由A,B兩點(diǎn)位于直線x=-2兩側(cè),

得(x1+2)(x2+2)<0,

即x1x2+2(x1+x2)+4<0,

∴m2-2m-8<0,解得-2<m<4,

∴S=·|PQ|·|x1-x2|=·|PQ|·=3,

∴當(dāng)m=0時(shí),S最大值為12.